Абсолютная сходимость знакопеременных рядов. Сходимость знакопеременных рядов. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.

Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.

Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Исследовать на сходимость ряд .

Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем

поскольку . Следовательно, данный ряд сходится.

38. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.

Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что

1. an+1 < an для всех n;

Тогда знакочередующиеся ряды исходятся.

39. Функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус сходимости. Интервал сходимости.

Понятие функционального ряда и степенного ряда

Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:

Все члены ряда –это ЧИСЛА.

Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:

В общий член рядапомимо многочленов, факториалов и других подарков непременно входит буковка «икс». Выглядит это, например, так:

Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда это функции.

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.

Определение:

Степенной ряд – это ряд, в общий член которого входят целые положительные степени независимой переменной.

Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так: , где– это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие только от «эн»). Простейший пример:

Посмотрим на это разложение и еще раз осмыслим определение: члены степенного ряда содержат «иксы» в целых положительных (натуральных) степенях.

Очень часто степенной ряд можно встретить в следующих «модификациях»: илигде а – константа. Например:

Строго говоря, упрощенные записи степенного ряда,илине совсем корректны. В показателе степени вместо одинокой буквы «эн» может располагаться более сложное выражение, например:

Или такой степенной ряд:

Лишь бы показатели степеней при «иксАх» были натуральными.

Сходимость степенного ряда .

Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости

Не нужно пугаться такого обилия терминов, они идут «рядом друг с другом» и не представляют особых сложностей для понимания. Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться.

Прошу любить и жаловать степенной ряд Переменная может принимать любое действительное значение от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»:

Если х=1,то

Если х=-1,то

Определение 1 . Числовой ряд ,
где , называется знакочередующимся рядом.

Для установления сходимости таких рядов существует достаточный

признак сходимости, называемый признаком Лейбница.

Теорема 1 (признак Лейбница) . Пусть числовой ряд удовлетворяет условиям:
1) , т.е. этот ряд знакочередующийся;
2) члены этого ряда монотонно убывают по абсолютной величине: т.е. ;
3) общий член ряда стремится к 0, т.е. .
Тогда ряд сходится и его сумма .

Доказательство . 1) Сначала рассмотрим частичную сумму чётного порядка и запишем её в виде: . В силу условия 2) теоремы 1 все выражения в скобках положительны, тогда сумма и последовательность монотонно возрастает: .

Теперь запишем эту сумму иначе: .
В последнем выражении каждое из выражений в скобках положительно, поэтому , из чего следует, что последовательность является ограниченной, и так как она монотонно возрастает, то она сходится. Другими словами существует , причём .

2) Рассмотрим частичную сумму нечётного порядка , которая положительна. Можно показать, что последовательность монотонно возрастает, так как монотонно возрастает последовательность и . Запишем выражение для в виде: , так как все выражения в скобках положительны, то . По условию 3) теоремы 1 , тогда , откуда .

Итак, при всех n (чётных или нечётных), , следовательно, исходный ряд сходится. Теорема доказана.

Замечание 1 . Признак Лейбница можно также применять к рядам, для которых условия теоремы выполняются с некоторого номера N.
Замечание 2 . Условие 2) теоремы 1 (признак Лейбница) о монотонности членов ряда существенно.

Пример 1 . Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Обозначим . К данному ряду применим признак Лейбница. Проверим выполнение условий теоремы 1: условие 1) ряд знакочередующийся ; условие 2) выполнено: ; условие 3) также выполнено: . Следовательно, по признаку Лейбница данный ряд сходится, причем его сумма .

Ответ: ряд сходится.

3.2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов

Числовой ряд , члены которого имеют произвольные знаки (+), (−), называется знакопеременным рядом . Рассмотренные выше знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременного ряда; понятно, что не всякий знакопеременный ряд является знакочередующимся. Например, ряд − знакопеременный, но не являющийся знакочередующимся рядом.

Отметим, что в знакопеременном ряде членов как со знаком (+), так и со знаком (−) бесконечно много. Если это не выполняется, например, ряд содержит конечное число отрицательных членов, то их можно отбросить и рассматривать ряд, составленный только из положительных членов, и наоборот.

Определение 1 . Если числовой ряд сходится и его сумма равна S ,
а частичная сумма равна S n , то называется остатком ряда , причём , т.е. остаток сходящегося ряда стремится к 0.

Рассмотрим сходящийся знакочередующийся ряд как частный случай знакопеременного ряда

Где . Запишем его в виде , тогда по признаку Лейбница ; так как , то , т.е. остаток сходящегося ряда стремится к 0.

Для знакопеременных рядов вводятся понятия абсолютной и условной

сходимости.

Определение 2 . Ряд называется сходящимся абсолютно , если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов .

Определение 3 . Если числовой ряд сходится, а ряд , составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно ) сходящимся .

Теорема 2 (достаточный признак сходимости знакопеременных рядов) . Знакопеременный ряд сходится, причём абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов .

Доказательство . Обозначим через частичную сумму ряда : , а через − частичную сумму ряда : . Обозначим через сумму всех положительных членов, а через сумму абсолютных величин всех отрицательных членов, входящих в . Очевидно, что .

По условию теоремы ряд сходится, тогда существует , и так как последовательность − монотонно возрастающая и неотрицательная, то . Очевидно, что , тогда последовательности и являются монотонно возрастающими и ограниченными, причем их пределы равны и . Тогда . Значит, исходный знакопеременный ряд сходится и сходится абсолютно. Теорема доказана.

Замечание . Теорема 2 даёт только достаточное условие сходимости знакопеременных рядов. Обратная теорема неверна, т.е. если знакопеременный ряд сходится, то не обязательно, что сходится ряд, составленный из модулей (он может быть как сходящимся, так и расходящимся). Например, ряд сходится по признаку Лейбница (см. пример 1 данной лекции), а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, (гармонический ряд) расходится.

Пример 2. Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд .

Решение. Данный ряд является знакопеременным, общий член которого обозначим: . Составим ряд из абсолютных величин и применим к нему признак Даламбера. Составим предел , где , . Проведя преобразования, получаем . Таким образом, ряд сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.
Ответ : ряд абсолютно сходится.

Пример 3. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд .

Решение. А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим и составим ряд из абсолютных величин . Получаем ряд с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов (теорема 2, лекция 2, разд. 2.2). Для сравнения с рядом рассмотрим ряд, который имеет вид . Этот ряд является рядом Дирихле с показателем , т.е. он расходится. Составим и вычислим следующий предел . Так как предел существует, не равен 0 и не равен ∞, то оба ряда и ведут себя одинаково. Таким образом, ряд расходится, а значит, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

Б) Далее исследуем исходный ряд на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница (теорема 1, разд. 3.1). Условие 1): , где , т.е. этот ряд знакочередующийся. Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию , определенную при (функция такова, что при имеем ). Для исследования этой функции на монотонность найдём её производную: . Эта производная при . Следовательно, функция монотонно убывает при указанных значениях х . Полагая , получаем , где . Это означает, чтоусловие 2) выполнено. Для проверки условия 3) находим предел общего члена : , т.е. третье условие выполняется. Таким образом, для исходного ряда выполнены все условия признака Лейбница, т.е. он сходится.

Ответ : ряд условно сходится.

Знакопеременные ряды

Определение 5. Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными рядами, так как они получаются умножением знакоположительных рядов на – 1.

Изучение знакопеременных рядов начнём с частного случая – знакочередующихся рядов.

Определение 6. Числовой ряд вида u 1 -u 2 +u 3 -u 4 +…+ +(- 1) n - 1. u n + …, где u n – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.

Теорема 9. (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося числового ряда

Выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю u 1 >u 2 >…>u n >…,

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство . Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S 2 n =(u 1 -u 2)+(u 3 -u 4)+…+(u 2 n -1 -u 2 n).

По условию u 1 >u 2 >…>u 2 n -1 >u 2 n , то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S 2 n возрастает с возрастанием n и S 2 n >0 при любом n .

С другой стороны S 2 n =u 1 -[(u 2 -u 3)+(u 4 -u 5)+…+(u 2 n -2 -u 2 n -1)+u 2 n ]. Выражение в квадратных скобках положительно и S 2 n >0, поэтому S 2 n <u 1 для любого n . Таким образом, последовательность частичных сумм S 2 n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный S 2 n =S . При этом 0<S ≤u 1 .

Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S 2 n +1 =S 2 n +u 2 n +1 . Перейдём в последнем равенстве к пределу при n→∞ : S 2 n +1 = S 2 n + u 2 n +1 =S+ 0=S. Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S , поэтому S n =S , то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд

Применим признак Лейбница.

u n = >u n +1 =

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.

Замечания.

1. Теорема Лейбница справедлива и если условие u n >u n + 1 выполняется, начиная с некоторого номера N .

2. Условие u n >u n +1 не является необходимым. Ряд может сходиться, если оно не выполняется. Например, ряд
сходится, как разность двух сходящихся рядов хотя условие u n >u n +1 не выполняется.

Определение 8 . Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда, расходится, то говорят, что знакопеременный ряд сходится условно.

Определение 9 . Если сходится и сам знакопеременный ряд и ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то говорят, что знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Пример .

Установить характер сходимости ряда

Очевидно, что данный ряд сходится по признаку Лейбница. Действительно: и u n =

Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда является расходящимся гармоническим рядом. Поэтому данный ряд сходится условно.

Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.

Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

Исследовать на сходимость ряд .

Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем

поскольку . Следовательно, данный ряд сходится.

38. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.

Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что

1. an+1 < an для всех n;

Тогда знакочередующиеся ряды исходятся.

39. Функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус сходимости. Интервал сходимости.

Понятие функционального ряда и степенного ряда

Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:

Все члены ряда –это ЧИСЛА.

Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:

Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда это функции.

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.

Определение:

Степенной ряд – это ряд, в общий член которого входят целые положительные степени независимой переменной.

Очень часто степенной ряд можно встретить в следующих «модификациях»: илигде а – константа. Например:

Или такой степенной ряд:

Лишь бы показатели степеней при «иксАх» были натуральными.

Сходимость степенного ряда .

Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости

Если х=1,то

Если х=-1,то

Если х=3,то

Если х=-0,2, то

Очевидно, что, подставляя в то или иное значение «икс», мы получаем различные числовые ряды. Некоторые числовые ряды будут сходиться, а некоторые расходиться. И наша задача найти множество значений «икс», при котором степенной рядбудет сходиться. Такое множество и называется областью сходимости ряда.

Для любого степенного ряда (временно отвлекаемся от конкретного примера) возможны три случая:

1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале . Иными словами, если мы выбираем любое значение «икс» из интервалаи подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал и называется интервалом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости:

Геометрически ситуация выглядит так:

В данном случае, интервал сходимости ряда: радиус сходимости ряда:

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость

Для того чтобы понять примеры данного урока необходимо хорошо ориентироваться в положительных числовых рядах: понимать, что такое ряд, знать необходимый признак сходимости ряда, уметь применять признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши. Тему можно поднять практически с нуля, последовательно изучив статьи Ряды для чайников и Признак Даламбера. Признаки Коши . Логически этот урок является третьим по счёту, и он позволит не только разобраться в знакочередующихся рядах, но и закрепить уже пройденный материал! Какой-то новизны будет немного, и освоить знакочередующиеся ряды не составит большого труда. Всё просто и доступно.

Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд и распишем его подробнее:

А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности.

Знакочередование обеспечивает множитель : если чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус» (как вы помните ещё с урока о числовых последовательностях , эта штуковина называется «мигалкой»). Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн».

В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например:

Подводным камнем являются «обманки»: , , и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака . Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , . Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решения функциональных рядов .

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии. Опасно для мозга.

Признак Лейбница : Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.

Или в два пункта:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю: , причём, убывают монотонно.

Если выполнены эти условия, то ряд сходится .

Краткая справка о модуле приведена в методичке Горячие формулы школьного курса математики , но для удобства ещё раз:

Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду . Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа . Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше , чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначают одно и то же:

– Члены ряда без учёта знака убывают.
– Члены ряда убывают по модулю .
– Члены ряда убывают по абсолютной величине .
– Модуль общего члена ряда стремится к нулю:

// Конец справки

Теперь немного поговорим про монотонность. Монотонность – это скучное постоянство.

Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю МЕНЬШЕ, чем предыдущий: . Для ряда выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:

А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: .

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом: Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего: .

В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). Кроме того, члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю , но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.

Не нужно пугаться того, что я нагородил, практические примеры всё расставят по своим местам:

Пример 1

В общий член ряда входит множитель , и это наталкивает на естественную мысль проверить выполнение условий признака Лейбница:

1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».

2) Убывают ли члены ряда по модулю? Здесь нужно решить предел , который чаще всего является очень простым.

– члены ряда не убывают по модулю, и из этого автоматически следует его расходимость – по той причине, что предела не существует *, то есть, не выполнен необходимый признак сходимости ряда .

Пример 9

Исследовать ряд на сходимость

Пример 10

Исследовать ряд на сходимость

После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам , которые не менее монотонны и однообразны интересны.

Абсолютная сходимость знакопеременных рядов. Сходимость знакопеременных рядов. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда

38. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

39. Функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус сходимости. Интервал сходимости.

38. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

39. Функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус сходимости. Интервал сходимости.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость