Energetske jednadžbe u općem obliku. Toplina i rad. energetska jednadžba Energy equation

Procesi kretanja plina koji se javljaju u različitim instalacijama toplinske tehnike povezani su s pretvorbom energije u protok plina. Proračuni radnih procesa ovih instalacija temelje se na općim odredbama teorije strujanja plina. Ova teorija temelji se na osnovnim principima termodinamike i na nizu pretpostavki, koje uključuju sljedeće:

1. Strujanje plina je ravnomjerno, tj. u svakom odabranom dijelu parametri plina u svim njegovim točkama ostaju konstantni.

2. Od odjeljka do odjeljka, događaju se beskonačno male promjene u parametrima plina u usporedbi s vrijednostima samih parametara. Protok plina je stacionaran.

Pod takvim pretpostavkama, plin će tijekom svog gibanja proći kroz niz uzastopnih ravnotežnih stanja.

Stacionarno strujanje plina opisuje se sustavom jednadžbi, uključujući jednadžbu kontinuiteta protoka, jednadžbu stanja i energetsku jednadžbu (jednadžbu 1. zakona termodinamike primijenjenu na strujanje plina).

Jednadžba kontinuiteta karakterizira postojanost masenog protoka plina u bilo kojem dijelu kanala pri ravnomjernom protoku. Ova jednadžba ima oblik

gdje G- maseni sekundarni protok plina; , F 2 - površina poprečnog presjeka kanala; w 1, w 2- brzine u odgovarajućim dionicama; ρ 1 ,ρ 2 - gustoća plina za iste dionice protoka ( ρ =l/v).

Za jednodimenzionalni tok plina, u skladu s drugim Newtonovim zakonom (sila je jednaka masi puta ubrzanju), možemo napisati sljedeću relaciju

- promjena tlaka duž koordinate X;

- promjena brzine duž koordinate X;

- sila koja djeluje na dodijeljeni elementarni volumen dV;

- ubrzanje elementarne mase plina pdV.

Posljednja relacija može se prepisati kao

S obzirom na to ρ=1/v, dobivamo

(7.1)

Dobivena relacija pokazuje da se tlak povećava dp i brzina dw imaju različite znakove. Stoga se jednodimenzionalna brzina strujanja povećava s padom tlaka.

Vrijednost -vdp odgovara formuli za jednokratni rad dl u jednadžbi prvog zakona termodinamike oblika

Odavde jednadžba prvog zakona termodinamike za strujanje plina u odsutnosti gravitacije i sila trenja u plinu poprimit će oblik

, (7.2)

gdje prirast kinetičke energije plina u odabranom području.

Jer , onda

, (7.3)

gdje d(pv)= pdv + vdp - elementarni posao guranja.

Posljednja jednadžba pokazuje da se toplina predana plinu troši na promjenu unutarnje energije, na rad potiskivanja i na promjenu vanjske kinetičke energije plina.

Jednadžbe (7.2), (7.3) su osnovne za strujanja plina i pare, a vrijede i za reverzibilna (nepopraćena djelovanjem sila trenja) i za ireverzibilna strujanja (uz prisutnost sila trenja). U prisutnosti sila trenja mora se potrošiti rad trenja l tr, koja se potpuno pretvara u toplinu q tr. Zbog ravnopravnosti l tr =q tr obje ove veličine, suprotnih predznaka, međusobno se poništavaju.

Jednadžba (7.3), uzimajući u obzir gravitacijske sile, ima oblik

gdje gdz - elementarni rad protiv gravitacije. Ova se komponenta u plinovima obično zanemaruje zbog svoje malenosti.

Za adijabatsko strujanje plina (dq=0) jednadžba (7.2) ima oblik

(7.4)

Nakon integracije dobivamo

(7.5)

Dakle, kod adijabatskog strujanja plina zbroj specifične entalpije i kinetičke energije ostaje nepromijenjen.

Napominjemo da jednadžbe (7.2), (7.3), (7.4) vrijede u slučaju kada plin tijekom svog kretanja obavlja samo ekspanzioni rad, a ne proizvodi koristan tehnički rad (npr. rad na turbinskim lopaticama i sl.). Pri obavljanju tehničkih poslova jednadžba prvog zakona termodinamike(7.3) za protok plina ima oblik

, (7.6)

gdje dl oni- elementarni tehnički poslovi.

Uspoređujući jednadžbu (7.5) s jednadžbom prvog zakona termodinamike (2.17) za plin koji se širi, ali se ne kreće, dobivamo

Dakle, tehnički rad je jednak radu širenja plina umanjenom za rad potiskivanja i rad utrošen na povećanje kinetičke energije plina.

Da bismo izveli jednadžbu za promjenu energije bilo kojeg sustava u najopćenitijem obliku, razmotrimo izolirani sustav (IS) koji se sastoji od radnog fluida (RT) u cilindru s pomičnim klipom, izvora topline (HS) i okoliš, uključujući prijemnik PR rada (težina), klip (P) i tekući okoliš (LSE), na primjer, atmosferu (Sl. 2.1), a zakon održanja energije (LSE) primjenjiv je na to:

E IS = E RT + E IT + E OS = const ili dE RT + dE IT + dE OS = 0.

Prepišimo posljednju jednadžbu u obliku

dE = dE PT = - dE IT - dE OS. (2.2)

Prema SSE (2.2), povećanje energije RT jednako je smanjenju energija IT i OS.

U praksi se desni dijelovi jednadžbe (2.2) obično ne računaju preko parametara izvora topline i okoline, već preko parametara koji karakteriziraju značajke procesa na granici sustava (RT).

Procesi prijenosa prometa s IT-a na RT i s RT-a na OS, koji uključuje radni prijamnik, imaju različite značajke. Dovod gibanja od IT do RT nastaje kao rezultat interakcije molekula plina s molekulama stijenki bez njihovog makroskopskog kretanja, tj. gibanje se dovodi u kaotičnom obliku (HF). Proces dovođenja gibanja u kaotičnom obliku obično se naziva proces prijenosa topline (prijenos topline).

Kada molekule plina međudjeluju s pokretnim klipom, dolazi do makroskopskog kretanja klipa, tj. ovdje se kretanje prenosi u uređenom obliku (UV). Proces prenošenja kretanja u uređenom obliku obično se naziva procesom vršenja rada (rada).

Slika 2.1 - Izvod jednadžbe prvog zakona termodinamike iz ZSE

Budući da je energija (kao fizikalna veličina) mjera gibanja sadržana u sustavu i prenesena kroz granicu sustava, onda su, posljedično, mjere gibanja prenesene u procesima prijenosa topline (u HF) i obavljanja rada (u UV ) bit će, redom, elementarne energije E perHF i E perUV, koje se obično nazivaju toplina Q odnosno rad W":

Q = E preHF = - dE IT i W" = E preUV = - dE OS.

Uzimajući u obzir prihvaćenu notaciju, PZT jednadžba (2.2) bit će zapisana u obliku koji se općenito ne može izračunati u smislu parametara sustava i stoga se mora označiti drugim simbolom osim d.

dE \u003d dEPT \u003d EperedHF + EperedUV \u003d Q + W "(2.3)

Prema ovoj jednadžbi energetske bilance, ukupni prirast (promjena) energije sustava jednak je zbroju elementarnih energija koje karakteriziraju kretanje preneseno kroz granicu sustava u procesima prijenosa topline (u HF) i obavljanja rada (u UV) (u ovom slučaju, broj tijela koja sudjeluju u procesima prijenosa topline i obavljanja rada, može biti bilo koji).

Dakle, toplina i rad su energije gibanja.Gibanje je, kao što je već navedeno u bilješci na stranici 8, svojstvo materije koja se može prenositi ne samo zahvaljujući prijenosu materije (gibanja tijela) u prostoru, već i tijekom međudjelovanja čestica na granicama sustava bez makroskopskog prijenosa tvari., prenose se, odnosno, u procesima prijenosa topline i obavljanja rada (u tom smislu ponekad se nazivaju energijama prijelaza ili energijama u prijelazu postupak). Stoga su se kao jedinica Sve do 1961. godine, kada je uveden Međunarodni sustav jedinica (SI), kao jedinica za toplinu koristile kalorija (od latinskog calor - toplina, toplina) i kilokalorija, a rad - erg i kilogram-metar. Značajni napori mnogih znanstvenika bili su potrebni da se dokaže ekvivalencija (sličnost) vrijednosti "toplina" i "rad" i da se utvrdi pretvorbeni faktor za jedinice topline i rada - mehanički ekvivalent topline - jednak 427 kgcm / kcal. Do sada se u literaturi nalazi jedinica za toplinu, kilokalorija, pa navodimo odnos između ove jedinice i kilodžula: 1 kcal = 4,1868 kJ. topline i rada, koristi se jedinica energije - džul: [Q] \u003d [W] \u003d [E] \u003d 1 J.

Treba napomenuti da se fizikalna veličina topline koristi ne samo za kvantificiranje gibanja prenesenog u procesu prijenosa topline, već i za procjenu količine raspršenog (tj. transformiranog u kaotično gibanje) uređenog makroskopskog gibanja, koje je posljedica treba uzeti u obzir rast entropije u takvim procesima. Dakle, tijekom disipacije uređenog gibanja, toplina disipacije se određuje na isti način kao i rad - preko makroskopskih sila i pomaka (npr. rad trenja)

Izbor znaka topline i rada. Predznak topline i rada ovisi o smjeru prijenosa gibanja - na sustav ili iz sustava (RT). U skladu s jednadžbom energetske bilance (2.3), predznak topline i rada mora se podudarati s predznakom promjene energije sustava: kada se sustavu dovede gibanje, promjena energije sustava je pozitivna. , dakle, i dovedena toplina i rad moraju biti pozitivne vrijednosti, a kada se gibanje ukloni, moraju biti negativne vrijednosti.

Za toplinu je ovo pravilo uvijek ispunjeno: ulazna toplina je pozitivna, izlaz negativan. Što se tiče predznaka rada, povijesno se njegov predznak nije određivao iz omjera ravnoteže (2,3), koji tada nije postojao, već iz razmatranja da je rad koji dobiva od motora, tj. dodijeljeni rad, pozitivan za osoba.

Rad W", čiji se predznak određuje iz relacije ravnoteže (2.3) - prema predznaku prirasta energije sustava, predznakom ćemo zvati vanjski. Ovdje se pojmovi vanjskog W" i unutarnjeg W rada formiraju u prema smjeru dovođenja gibanja, tj. prema predznaku (W = - W"). Kad bi predznak rada odgovarao predznaku promjene energije u odnosu (4.3), kao i za toplinu, tada bi nije potrebno uvoditi podjelu na vanjski i unutarnji prema znaku djela.Dakle, u udžbeniku Baera G. nema podjele rada na vanjski i unutarnji - tu je sav rad vanjski: rad koji se predaje sustava smatra se pozitivnim, a otklonjeni rad je negativan rad (vanjski, jer se obavlja zbog smanjenja vanjske energije - energije izvora rada).

Rad W, čiji se predznak podudara s predznakom gubitka energije sustava, nazvat ćemo rad internim predznakom (unutarnji, jer se obavlja zbog gubitka vlastite, unutarnje energije).

Postoji očita veza između unutarnjih i vanjskih radova u znaku:

PZT jednadžba (2.3) za rad unutarnjeg predznaka može se napisati u obliku

Jednadžba (2.7) je analitički izraz CCT-a za zatvoreni termodinamički sustav (bez izmjene tvari s OS) u najopćenitijem obliku i glasi: toplina odlazi na promjenu energije sustava i obavljanje rada. Ovu je jednadžbu prvi dobio R. Clausius 1850. godine.

Vanjski i unutarnji (na mjestu obračuna) rad i toplina Najčešće se pojam vanjskog i unutarnjeg rada definira u skladu s mjestom obračuna rada, odnosno ovisno o izboru granica sustava - vanjski. i unutarnje. Unutarnja granica sustava uključuje samo jednu radnu tekućinu i podudara se s unutarnjim površinama klipa, poklopca i košuljice cilindra (isprekidana linija na slici 2.1). Vanjska granica sustava uključuje dodatni tanki sloj materijalne ljuske koja prekriva radni fluid (isprekidana crta na slici 2.1).

Tanak sloj ljuske debljine razmjerne promjeru molekula stjenke ima malu rezervu SE pa se stoga može zanemariti njegov utjecaj na promjenu SE sustava. Uloga tankog sloja je transformirati uređeno gibanje klipa u kaotično (toplinsko) gibanje molekula tog sloja. Kao rezultat takve transformacije, vanjski (efektivni) rad koji radni fluid - tanki sloj ljuske (na vanjskoj granici) oduzima sustavu manji je od unutarnjeg (indikatorskog) rada radnog fluida. tekućina na unutarnjoj granici sustava, rad trenja klipa o košuljicu cilindra (vidi sl. 2.1)

Uređeno kretanje klipa, raspršeno u kaotično kretanje tankih slojeva klipa i stijenke, kao rezultat prijenosa topline, dalje se odvodi u radni fluid iu okolinu. Ako su stijenke adijabatske (na primjer, keramičke) ili se toplina dovodi s vanjske strane cilindra (motori s vanjskim izgaranjem), tada se svo raspršeno gibanje (karakterizirano radom trenja W tr) vraća u RT u obliku kaotičnog gibanje (karakterizirano toplinom trenja Q tr).

Toplina koja se dovodi na vanjsku granicu sustava iz izvora topline (ili spirale smještene unutar plina ili unutar materijala ljuske) ili kao rezultat izgaranja goriva unutar radnog fluida naziva se vanjska toplina.

Kada gorivo izgara unutar radnog fluida, vanjska toplina je manja od oslobođene topline izgaranja zbog gubitka topline na stijenkama cilindra

Q e \u003d Q izgorjelo - Q znoj.zidovi. (2.10)

Kao rezultat dovoda topline trenjem, radni fluid prima ukupnu toplinu na unutarnjoj granici jednaku zbroju vanjske topline i topline trenja

U skladu s navedenim, PZT jednadžba (2.7) za vanjsku granicu sustava (za RT plus ljuska) može se napisati u obliku

a za unutarnju granicu sustava (za jedan RT) u obliku

Ako uvedemo koncept efektivnog rada vanjskog predznaka (pozitivan je kada se rad obavlja na sustavu), tada se PZT jednadžba (2.12) može napisati kao

Svaki od ovih učinkovitih poslova može se predstaviti kao zbroj različitih poslova koji se obavljaju na granici sustava,

gdje je N broj različitih poslova.

1) Sustav Navier-Stokesovih jednadžbi i jednadžba kontinuiteta sadrže 6 nepoznanica: tri komponente vektora brzine, gustoću, tlak i koeficijent viskoznosti. Koeficijent viskoznosti ovisi samo o temperaturi i obično se smatra zadanom funkcijom apsolutne temperature G:

Ova jednadžba sadrži novu sedmu nepoznanicu - apsolutnu temperaturu. Apsolutna temperatura je povezana s gustoćom i tlakom jednadžbom stanja:

Ovisno o prirodi okoline, funkcija ima jednu ili drugu strukturu. U slučaju plinova, slažemo se uzeti jednadžbu stanja u Claiperonovom obliku:

gdje je plinska konstanta; u slučaju nestlačivog fluida ova se jednadžba zamjenjuje uvjetom

Dakle, došli smo do sustava od šest skalarnih jednadžbi [tri Navier-Stokesove jednadžbe, jednadžba kontinuiteta, jednadžbe], koje sadrže 7 nepoznanica:

Da bi se problem postavio potrebna je još jedna jednadžba.

Takva završna jednadžba je jednadžba energetske bilance. Pratit ćemo određenu masu tekućine koja zauzima volumen. Zakon održanja energije kaže da je promjena energije te mase tekućine u jedinici vremena jednaka snazi vanjskih sila, priljevu energije izvana i snaga unutarnjih izvora energije:

Energija tekuće mase sastoji se od dva pojma: kinetička energija, tj. energija makroskopskog gibanja čestica

Unutarnja energija, tj. energija toplinskog gibanja molekula plina ili tekućine.

Za plinove u općem slučaju izraz ima prilično složenu strukturu. Razmotrit ćemo samo slučaj "savršenog plina", odnosno plina čija je unutarnja energija određena samo translatornim gibanjem molekula. To znači da je energija rotacijskih stupnjeva slobode molekula zanemariva u usporedbi s energijom translatornog gibanja. Za ovaj slučaj, termodinamika daje izraz

gdje je toplinski kapacitet plina pri konstantnom volumenu, povezan s toplinskim kapacitetom pri konstantnom tlaku formulom

vrijednost "mehaničkog ekvivalenta topline" Rad vanjskih sila je zbroj rada sila tijela i rada površinskih sila.

gdje je brzina kretanja čestica tekućine, površina koja ograničava volumen

Pretpostavimo da se dotok energije izvana događa samo zbog provođenja topline. Zatim, prema Fourierovom zakonu, količina topline koja ulazi kroz površinu po jedinici vremena (u mehaničkim jedinicama) određena je formulom

gdje je koeficijent toplinske vodljivosti.

Zamjenom izraza (36, (37) i (39) - (41) u jednadžbu (35) možemo napisati sljedeću (pojednostavljenu) jednadžbu bilance energije:

3) Jednadžba je jednadžba energetske bilance u integralnom obliku; da bi se dobila diferencijalna jednadžba potrebno je također provesti niz transformacija. Prije svega napominjemo da

(Ove transformacije su izravna posljedica jednadžbe kontinuiteta. Zatim pretvaramo integrale po površini, uključene u desnu stranu jednadžbe, u integrale po volumenu. Prije svega

Primjenom formule Gauss-Ostrogradsky na ovaj integral, nakon očitih izračuna, dobivamo

Slično, transformiramo posljednji član u jednadžbi

Pomoću formula pretvaramo jednadžbu u oblik

odakle, zbog proizvoljnosti volumena, dobivamo sljedeću diferencijalnu jednadžbu:

4) U jednadžbi (47) potrebno je komponente tenzora naprezanja zamijeniti sljedećim izrazima:

Koristeći ove formule i transformaciju identiteta

gdje jednadžbi možemo dati sljedeći oblik:

5) Dakle, dobili smo jednadžbu koja zatvara sustav jednadžbi dinamike fluida i plina. Ova jednadžba bi se mogla nazvati generaliziranom jednadžbom topline, budući da je jednadžba širenja topline sadržana u njoj kao poseban slučaj. Doista, pretpostavimo da tekućina miruje; tada će jednadžba (49) imati oblik

Ako je temperaturna razlika mala, tada se koeficijent k može smatrati neovisnim o koordinatama i dolazimo do poznate jednadžbe provođenja topline

gdje se koeficijent naziva koeficijent toplinske difuzije.

Jednadžba (50) opisuje širenje topline u fluidu koji miruje zahvaljujući mehanizmu provođenja topline. Ovaj mehanizam osigurava trenutnu brzinu širenja toplinskih poremećaja (vidi sliku 5). Pretpostavimo da smo dodijelili poremećaj impulsa čestici tekućine koja se nalazi u točki x u trenutku vremena gdje je delta funkcija jednaka nuli posvuda osim u točki i tako da je tada opisana raspodjela temperature u bilo kojem trenutku po formuli

Vidimo da bez obzira na vrijednost apscise u bilo kojem trenutku različitu od nule, temperatura će također biti različita od nule.

6) Argumenti koji su ovdje izneseni odnosili su se na slučaj mirovanja tekućine, a prešutno se pretpostavljalo da ako je tekućina mirovala u početnom trenutku, tada će mirovati iu sljedećim trenucima vremena. To, općenito govoreći, nije tako. Doista, ako se temperatura promijeni, tada će se, prema jednadžbi stanja, promijeniti gustoća i tlak, što će zauzvrat uzrokovati kretanje tekućine. Dakle, promjena temperature medija uzrokuje kretanje tekućine. Probleme širenja topline i problem gibanja fluida treba promatrati zajedno. Samo u jednom konkretnom slučaju ti se problemi mogu razdvojiti - u slučaju nestlačive tekućine, pod pretpostavkom da koeficijent viskoznosti ne ovisi o temperaturi. Tada se problem gibanja fluida svodi na rješavanje jednadžbe kontinuiteta

i Navier-Stokesove jednadžbe

Nakon što smo odredili vektor i skalar iz ovih jednadžbi, možemo odrediti temperaturno polje iz jednadžbe, koja u ovom slučaju ima oblik

7) Iz jednadžbe (54) vidljivo je da, osim mehanizma provođenja topline, konvektivni prijenos topline igra ulogu u širenju prijenosa topline uslijed gibanja čestica fluida. Stoga se toplinske perturbacije mogu širiti i unutar tekućine bez toplinske vodljivosti. Da bismo to objasnili, razmatramo problem gibanja idealnog toplinski nevodljivog plina, kada jednadžba (49) ima oblik

Ukupna energija jedinice mase ležišta sastoji se od unutarnje specifične energije stijena ležišta i tvari koje ga zasićuju, te specifične potencijalne i kinetičke energije tvari koje se kreću u ležištu brzinom koja se odnosi na jedinicu masa. Zato

Iz zakona održanja energije ili točnije iz prvog zakona termodinamike proizlazi da je promjena energije spremnika i proizvedenog specifičnog rada jednaka količini topline dovedene spremniku, pomnoženoj s mehanički ekvivalent topline, tj.

ili uzimajući u obzir (3.17)

Dajmo kvantitativnu procjenu veličina koje ulaze u (3.19). Specifična unutarnja energija formacije u nedostatku kemijskih ili nuklearnih transformacija tvari u njoj je toplinska energija po jedinici mase formacije, tako da

gdje je specifični toplinski kapacitet formacije; T je temperatura. Pretpostavimo da je porozni sloj zasićen vodom. Zatim ( - specifični toplinski kapacitet formacijskih stijena; - specifični toplinski kapacitet vode; - poroznost). Neka je = 1,046 kJ / (kg × K), = 4,184 kJ / (kg. K), , . Tada je , =102×1,67×1=170 m. Specifična potencijalna energija u rezervoarima može se mijenjati u skladu s mogućim promjenama u razini tvari koje se kreću u rezervoaru. Obično su to deseci, a ponekad i stotine metara.

gdje je gustoća stijena; je gustoća tvari koje zasićuju rezervoar i pomnožite sve vrste specifične energije, osim unutarnje energije, s . U , , .

Zatim, za promjenu specifične kinetičke energije, dobivamo

Iz navedene ocjene proizlazi da se specifična kinetička energija kretanja tvari u ležištu uvijek može zanemariti, osim u posebnim slučajevima kretanja tvari u zoni dna bušotine.

Ako je promjena specifične potencijalne energije tvari koja se kreće u rezervoaru čak i 100 m, tada množenjem ove vrijednosti s dobivamo 10 m. Promjena temperature rezervoara za samo jedan stupanj ekvivalentna je promjeni specifičnog unutarnju energiju za gotovo 200 m. Ako se razvoj ležišta provodi toplinskim metodama, tada se temperatura ležišta može promijeniti za stotine stupnjeva i njegova specifična unutarnja energija postat će dominantna među ostalim vrstama energije. Procijenimo moguću količinu rada koju mogu proizvesti tvari koje zasićuju rezervoar. Konkretan rad,. koju proizvodi tvar koja zasićuje rezervoar i odnosi se na jedinicu mase tvari, definiramo na sljedeći način:

gdje je pritisak; - volumen tvari koja zasićuje ležište u elementarnom volumenu ležišta; - gustoća ove tvari; - ubrzanje sile teže.

Volumen pora formacije ostaje, općenito govoreći, nepromijenjen, jer se geometrija formacije i njezina poroznost ne mijenjaju. Rad tvari u rezervoaru uvijek je povezan s njezinim širenjem. Stoga je u (3.21) uvedena veličina koja karakterizira širenje tvari. U ovom slučaju, može se uvjetno smatrati da tvar koja zasićuje rezervoar, šireći se, takoreći, prelazi granice elementarnog volumena rezervoara. Pretpostavit ćemo da pri beskonačno malom širenju tvari u elementarnom volumenu spremnika masa tvari ostaje nepromijenjena.

Tada i stoga

Zamjenom (3.22) u (3.21) dobivamo

Procijenimo mogući rad tvari koja zasićuje rezervoar. Očito, plin može obaviti najviše rada u ležištu. Radi lakše procjene plin ćemo smatrati idealnim za koji je , gdje su i tlak i gustoća plina u početnim uvjetima. Stoga za idealni plin

Neka pri padu tlaka , , , ,

Izvršena procjena pokazuje da rad tvari koja saturira ležište, iako puno manji od promjene specifične unutarnje energije kod termičkih metoda razrade naftnih polja, ipak može biti značajan pod određenim uvjetima, što pokazuje iskustvo.

Razmotrimo pitanje čemu je jednaka količina , koja se pojavljuje u (3.18) i (3.19). Do oslobađanja topline u elementu rezervoara može doći zbog egzotermije kemijske reakcije i hidrauličkog trenja i zbog toplinske vodljivosti. Gubitak topline iz elementa spremnika zbog toplinske vodljivosti dodatno će se uzeti u obzir pri promjeni unutarnje energije spremnika. Prijenos topline od rezervoara do krova i dna bit će uzet u obzir odgovarajućim rubnim uvjetima i stoga neće biti uzet u obzir u energetskoj bilanci elementarnog volumena rezervoara. Energija tvari koja se kreće u poroznom mediju pretvara se u toplinu uslijed hidrauličkog trenja. Za snagu hidrauličkog trenja, vezanu uz jedinicu mase pokretne tvari u elementu formacije, imamo sljedeći izraz:

Pretpostavimo da se plin viskoznosti kreće u ležištu brzinom . Propusnost formacije, poroznost, gustoća plina pri tlaku je 100 kg/m 3 . Zatim

Energija će se dnevno oslobađati iz kilograma plina koji se kreće u rezervoaru. To je, naravno, mali iznos. Međutim, na primjer, u zoni dna bušotine, brzina filtracije istog plina može doseći m/s, a ponekad i više. Zatim, pod istim drugim uvjetima kao gore, vrijednost . Iz kilograma plina filtriranog u ležištu dnevno će se osloboditi gotovo 9 kJ energije. Stoga se može zaključiti da je najznačajnija promjena energije u elementu formacije povezana s prijenosom topline zbog toplinske vodljivosti i konvekcije. Određeni doprinos energetskoj ravnoteži formacije, osobito pri velikim brzinama kretanja tvari koje je zasićuju, daje rad ekspanzije-sažimanja tvari i hidrauličko trenje.

Napišimo jednadžbu održanja energije u ležištu, uzimajući u obzir toplinsku vodljivost i konvekciju, kao i rad ekspanzije-sažimanja tvari i hidrauličko trenje.

Uzimajući u obzir, kao i kod izvođenja jednadžbe kontinuiteta mase tvari filtrirane u spremniku, tok unutarnje energije i energije kompresije, te također uzimajući u obzir da toplina ulazi u elementarni volumen samo zahvaljujući hidrauličkom trenju, tj. dobivamo

Ovdje je vektor ukupne brzine prijenosa topline u rezervoaru zbog provođenja topline i konvekcije, a vektor brzine filtracije. Izraz (3.26) je diferencijalna jednadžba očuvanja energije u ležištu, izvedena pod gornjim pretpostavkama.

Slijedeći zakon održanja energije, sastaviti ćemo energetsku bilancu za masu plina koja prvo ispuni volumen 1 - 2, a nakon nekog vremena dt volumen 1 "- 2" (Sl. 3.3). Budući da im je osjenčani volumen 1 "-2 y zajednički, tada je prirast bilo koje vrste energije jednak razlici energije te vrste u infinitezimalnim volumenima 2 - 2" i 1 - 1".

Povećanje kinetičke energije

Povećanje potencijalne energije

gdje Z2 i Z1– visine sekcija 1 i 2, g je ubrzanje gravitacije.

Prirast unutarnje (toplinske) energije

gdje u=S n T- unutarnja energija jedinice mase plina, jednaka produktu toplinskog kapaciteta pri konstantnom tlaku C n na apsolutnu temperaturu. Ako Uz n=konst, onda

Prilikom pomicanja volumena koji smo mi dodijelili iz stanja 1 - 2 u stanje 1 "- 2" vanjske sile rade. Prijenos plina iz odjeljka od 1 do 1 "događa se, takoreći, pod djelovanjem klipa s površinom F1 s pritiskom R 1.

Rad klipa tijekom vremena dt jednako je

Ovdje se koriste sljedeće relacije

F 1 w 1 \u003d V 1 - volumen koji klip istiskuje u 1 s; m3/s;

n 1 \u003d V 1 /M- specifični volumen m3/kg;

M- maseni protok, kg/s;

r 1 \u003d 1 / n 1 gustoća kg/m3;

dM je masa koju je klip istisnuo u vremenu dt

Slično za odjeljak 2. Tijekom vremena dt plin će pomaknuti klip u položaj 2", obavivši rad na vanjskom okruženju, što ćemo smatrati negativnim,

Dakle, energija koju unose sile pritiska jednaka je razlici rada klipa 1 i 2:

Na mlaz plina u odjeljku 1 - 2 na vrijeme dt toplina se može isporučiti u iznosu dQ. Mlaz plina može obaviti tehnički posao dL, na primjer, rotiranjem turbinskog kotača ugrađenog između sekcija 1 i 2. Također treba uzeti u obzir energiju utrošenu za svladavanje sila trenja dL tr. Prema prvom zakonu termodinamike, toplinska energija dovedena plinu dQ a rad sila pritiska troše se na tehnički rad dL, rad sila trenja dL tr, kao i za povećanje rezervi potencijalne, unutarnje i kinetičke energije:

Dijeljenje svih članova dobivenog izraza sa dM, dobivamo energetsku jednadžbu napisanu za 1 kg mase plina

gdje q- toplina koja se isporučuje 1 kg plin; dL- posao završen 1 kg plin; dL tr- rad na prevladavanju sila trenja, koje se mogu pripisati 1 kg plin.

dobitak topline q provodi se na dva načina: izvana ( q van) - zbog prijenosa topline kroz bočnu površinu mlaza ili zbog oslobađanja topline u samom mlazu kao rezultat izgaranja goriva i iznutra ( q tr)- pretvaranjem rada trenja u toplinu L tr:

U diferencijalnom obliku